友人から車検切れの車を譲ってもらうのですが、車検と名義変更を同時に行うのは可能でしょうか？

普通車と軽自動車で異なりますが、普通車の場合は法律上、検査の有効期限のある自動車でないと名義変更ができません。ですので先に検査を通す必要がありますが、その際にナンバープレートを一旦返納して一時抹消の手続きをとり新規登録を行うか、前のオーナーのままで継続検査を受けて検査後に名義変更をするという二通りの方法があります。もし、最初からナンバーが返納されている場合だったら前者となります。
一旦返納して新規登録をすれば、自動車税が前所有者に月割の還付と新所有者に月割の納付が発生します。後者の継続でしたら前オーナーが4月1日付けで翌年の3月までの自動車税を納めていますので、双方の話し合いで自動車税を双方が個人的にやり取りをするといったことになります。
どちらが良いかといえば一長一短がありますが、検査が切れて何年もたっている場合でしたら、そのときから今度検査を受けるまで、自動車税を一括して払わなければいけません。
状況で判断していただければと思います。
それと軽自動車の場合でしたら先に名義変更も可能ですので、同時ということも可能だということになります。